• 乘法、除法（一）
本章教学目标：
• 初步理解乘法的含义，知道乘法算式中因数和积等名称。
• 知道可以用不同的重复行为来表示同一个事物（对象），知道 a 个 b 和 b 个 a 得到的结果是相等的。
• 初步理解倍的概念，知道 a 个 b 就是 b 的 a 倍。
• 通过参与编制乘法口诀，初步学会类推乘法口诀。熟记 10 、 5 、 2 、 4 、 8 的乘法口诀，并会用这些乘法口诀口算相关的表内乘法问题。
• 初步理解除法的含义，知道除法算式中各部分的名称。
• 会用 10 、 5 、 2 、 4 、 8 的乘法口诀求商。
乘法、除法的引入和展开都经历了“行为、图和符号语言”三个阶段。
数十年的实践证明：一个数学概念的学习经过这三个阶段的实施既可以促进孩子们发展认知，也可以使孩子们巩固地建立起数学概念。先引导儿童对实物进行连续地添加与取走、分发，即多次重复行为，这就是所谓的行为阶段。进而摆圆片、在数射线上几格一跳、圈圆点，这就是图的阶段。然后进入符号语言阶段：乘除式、口诀等。
小学中乘法含义大致通过下列三个途径来完成：① 份数与一份量相乘，②面积（如：长方形面积 =长×宽），③倍。本册教材是通过①、③来完成。
小学中除法的含义大致通过“包含”与“等分”来形成的，新的课程标准中没有列出“包含”和“等分”这两个词，本册教材是通过等量划分（包含、度量）与平均分来完成。
乘法引入（游乐场）
教学目标：
• 通过观察，在图、现实生活中，发现重复的行为和类同的情节。
• 能使用语言对重复的行为和类同的情节进行准确地描述。
教学须知：
本页是节的主题图，主要是引导孩子们从图中发掘重复的行为和类同的情节。并能够进行准确地描述。如：
小汽车：每辆小汽车中坐 2人，有6辆这样的小汽车。
划船：每条船中有 3人，有 6条这样的船。
转杯：每只转杯中有 4人，有5只这样的转杯。等等
教学建议：
• 先用投影薄膜或多媒体课件将课页投影在黑板上，激发学生的兴趣。并引导孩子们从图中发掘重复的行为情节。
• 组织学生交流，让学生用自己的语言，对重复的行为情节进行描述。
乘法引入（几个几相加，从加到乘）
教学目标：
• 通过观察，发现重复的行为和类同的情节。能够用“几个几”来描述重复的行为和类同的情节。
• 知道可以使用同数连加来计算几个几的和。
• 初步理解乘法的含义，会使用乘法算式描述几个几的和。
教学须知：
几个几在第二册中孩子们已熟悉了，现在从孩子们熟悉的餐厅出发，系统地认识如“ 1 个 4 ， 2 个 4 （ 2 个 4 相加）， 3 个 4 （ 3 个 4 连加）， 4 个 4 （ 4 个 4 连加）”、“ 6 个 4 ， 6 个 0 ”，为乘法的引入作准备。
乘法引入的语言核心是“ 6 个 3 （ 6 个 3 连加）就是 6 × 3”。
同数连加如何用乘法算式表示可以有两种表示方法：
3+3+3+3+3+3=3×6 (1)
3+3+3+3+3+3=6×3 (2)
这里出现的两个数 6与3，3是作为基数（或量“3人” ）；另一个6，被用来作为多次重复行为（重复6次）的标记，6在这里也是描述一种变换。（在国际上也被称作为算子——通常算子是指数学、物理中的一种变换）
长期以来使教学界苦恼的是表示重复次数的数写在左边好还是右边好？
次数写在左边的就是方法 (2)，优点是它与儿童交际语言的使用相一致，顺应了儿童语言：6个3就是6×3：
3+3+3+3+3+3=6×3
次数写在右边的就是方法 (1)，它的优点是呈现了一个重要的算法图式：
输入 输出
——> 变换×6 ——>
3+3+3+3+3+3=3×6
乘法引入时一般都只出示一种书写方法。
学习心理学上的研究成果认为：考虑选用传达思维方法的符号词汇时，语言应该是最优先的，在掌握了语言之后，才是词汇表现上的数学。数学词汇表现如果与学生掌握的语言一致或顺应了学生掌握的语言，学生就容易把握所学的数学。因此，目前在乘法引入时，不少国家使用方法 (2)来表示乘法。
鉴于这两种表示方法均有它的优点，加上时常有“学生由于规定只能用一种表示方法而苦恼”的报道，也有学者建议：“假如教师没有被所用的教科书严格规定死，可以妥协地向学生介绍两种可能。”（初级数学教育学— Erich.Wittman ）但由于儿童年幼，加上书写时单位名称均已省略，怕引起混乱，所以很少有国家实行之。本册教材整个乘法内容的安排均从“语言应该最优先”出发来考虑 ，采用的是方法 (2)：6个3就是6×3。
交换
教学目标：
通过对同一事物（对象）从不同角度的观察，知道用不同的重复行为来表示同一个事物（对象），知道 a 个 b 和 b 个 a 得到的结果是相等的。
教学须知：
小学里乘法是建立在量的基础上的，因而与代数不同的是必须在乘法的表示方法选定后，才能给儿童做交换。 也就是说，是先定义 b 个 a 连加为 a × b （或 b × a ）。然后才有交换律：相乘结果与因数次序无关。乘法中交换的实质涉及到“一份量”结构的改变，也就是根据思维方法不同改变了“一份量”的含义。如教材中小丁丁观察到有 a 个 b ，而小巧观察到的则是 b 个 a （ a 表示 3 ， b 表示 4 ）。“一份量”是可以变化的，是相对的。 教材中的交换（一箱可乐有几瓶），是按 a 个 b 写成 a × b（4＋4＋4＝3×4）处理的。
这里，在教学中不要出现 a × b＝b× a 这种用字母代数的形式只要学生知道类似于 3×4和4×3的结果是相等的 。
看图编乘法题
教学目标：
• 通过看图遍乘法题，初步理解的乘法含义。
• 能够根据点图，写出乘法算式。
• 进一步理解交换的思想。
• 培养发散性思维。
教学须知：
对同一情景图，一份量的不同选法将得到不同的乘法算式。学生通过对同一情景图的不同思维，确定不同的“一份量”，得到不同的乘法算式，既培养了发散思维，又加深了对乘法含义、对乘法交换律的初步认识。
游乐场统计图
教学目标：
• 进一步认识条形统计图，知道一个单位刻度不仅可以表示 1 ，也可以表示 2 等。
• 会读统计表与条形统计图。
• 会填写统计表、画条形统计图。
教学须知：
在第二册，孩子们已能读统计表与条形统计图了，并能够在帮助下画条形统计图。本节开始，孩子们正式与条形统计图这个专业名词接触，逐步加深对它的认识。
倍
教学目标：
倍的认识：知道“几个 a 就是 a 的几倍”。如：“ 5 个 3 就是 3 的 5 倍”。
教学须知：
在比较两个量的时候，有很多种方法。一种是比较大小的不同，也就是使用差进行比较的方法。如： 6比2大4。还有一种是“一个量相当于几个另一个量”这种比例的比较方法。如6是3个2，也说6是2的3倍。这就是 “倍”的概念。倍也是乘法的重要含义之一。本教材从生活中的几份、几个几引出“倍”的概念。“1个3也可以说成3的1倍，2个3也可以说成3的2倍... ”，因而倍的记录可以从思维、语言角度出发，用2种方法来表示。例如：2个3也可以说成3的2倍，因而可记录成2×3或3×2。孩子们可以自选，但教师要注意学生的思维过程。“倍”概念形成的关键是将什么看作1份。
在教学中不要出现“ a 个 b 就是 b 的 a 倍”这类用字母代数的总结。
10 的乘法
教学目标：
• 通过操作活动，总结出一个数与 10 相乘的积的规律。
• 知道“一个数与 10 相乘，积就是在这个数的末尾添个 0 ”，会计算 10 以内数与 10 的乘法。
• 能利用 10的乘法，解决简单的问题。
• 会口算简单的“乘加”、“乘减”两步计算式题。
教学须知：
孩子们在第二册中，已经学过了“几个十就是几十”。因此，一个数与 10相乘是最容易的，只要在这个数末尾添个0。孩子们非常容易记住，关键是这种认识如何形成。这里采用了学生在第二册中已熟悉的数射线为辅助工具。让孩子们在探究中形成10的乘法的法则。这里问题解决能力是收集信息并整理，针对问题建立数学模型、解题，将答案回到实际中去。
5 的乘法
教学目标：
• 会编 5 的乘法口诀。
• 初步学会类推乘法口诀，掌握 5 的乘法口诀。
• 能利用 5 的乘法口诀熟练口算关于 5 的乘法，会 解决简单的应用问题。
教学须知：
在认识数时，5是一个关键的数。在人体结构上有很好的5的模型。如：一只手有五个手指，两只手有十个手指。5的乘法的掌握应建立在理解的基础上，而不只是死记硬背。孩子们通过探究、认知与多次实践、推算自己编出5的乘法口诀。
乘法口诀由师生共同编已成共识。编口诀更加要重视语言优先。乘法口诀最后使用的是小九九，即元朝朱世杰在《算学启蒙》中所记的，它每句都是小的数词在前面，从语言上读起来顺口。编大九九在思维上顺；编小九九则可省掉一半，符合精简原则，但一半必须颠倒过来，并要借用后面的内容：
1×5＝ 5 一五得五 5×1＝ 5
2×5＝10 二五一十 5×2＝10
3×5＝15 三五十五 5×3＝15
4×5＝20 四五二十 5×4＝20
5×5＝25 五五二十五 5×5＝25
6×5＝30 5×6＝30
7×5＝35 5×7＝35
8×5＝40 5×8＝40
9×5＝45 5×9＝45
对小九九来说，不管将 3个5记成3×5还是5×3，都会有一半口诀从思维的记录上是不顺的，要颠倒过来处理。小九九虽然口诀精简了，但在儿童的思维上却是繁琐的，要颠倒过来。新教材采取留一个空间让学生根据自己的喜好来处理。从6×5 —— 9×5，由学生自己来编，可以六五、七五、八五、九五，即6个5，7个5，8个5，9个5，这样顺口顺思维地编下来。也可以从精简角度出发颠倒过来，借用后面的六的口诀（五六）、七的口诀（五七）、八的口诀（五八）、九的口诀（五九）。口诀的多、少不是最重要的，关键是哪个容易理解、容易记。解决问题能力要求与10的乘法相同。
学习乘法口诀时，要特别注意帮助学生建立乘法口诀和乘法算式之间的联系，不要脱离算式背口诀，根据刺激反应的原理，只有当学生把口诀与相应的算式建立起牢固的联系后，学生才能方便地运用乘法口诀口算乘法算式的结果。
2 的乘法
教学目标：
• 能编出 2 的乘法口诀。
• 初步学会类推乘法口诀，掌握 2 的乘法口诀。
• 能利用 2 的乘法口诀熟练地口算，会利用所学的知识 解决简单的应用问题。
教学须知：
在一年级孩子们已经学过加倍与一半等内容。这里提供一个足够的空间让孩子通过探究、推理，通过多次实践，自己编撰出 2 的乘法口诀。
4 的乘法
教学目标：
• 会编 4 的乘法口诀。
• 掌握 4 的乘法口诀，能熟练地利用 4 的乘法口诀口算。
• 会利用所学的知识 解决简单的应用问题。
教学须知：
4 的乘法的掌握是建立在理解的基础上，要提供一个足够的空间让孩子通过探究、推理，通过多次实践，自己编撰出 4 的乘法口诀。
在 2 、 4 乘法之间强调它们相互的关系： 4 是 2 的加倍，可以通过 2 的口诀的加倍得到 4 的乘法口诀。解决问题能力与前同。
8 的乘法
教学目标：
• 会编 8 的乘法口诀。
• 熟练掌握 8 的乘法口诀，能熟练地利用 8 的乘法口诀进行口算，并会计算 简单的实际问题。
教学须知：
8 的乘法的掌握也应建立在理解的基础上，要提供一个足够的空间让孩子通过探究、推理，通过多次实践，自己编撰出 8 的乘法口诀。
在 2 、 4 、 8 乘法之间强调它们相互的关系： 4 是 2 的加倍， 8 是 4 的加倍。可以通过 2 的口诀的加倍，得到 4 的乘法口诀，通过 4 的口诀的加倍，得到 8 的乘法口诀。解决问题能力与前同。
2 、 4 、 8 的乘法之间的关系
教学目标：
• 经历探究 2、4、8的乘法之间的关系的过程，培养学生的观察、探究能力。
• 知道 2、4、8的乘法之间的关系。并能够利用2、4、8的乘法之间的关系解决问题。
教学须知：
“联系”是数学的过程标准之一，这里引导孩子们从“计算条片”筑墙这个有趣的活动出发探究 2 、 4 、 8 的乘法之间的联系，通过努力自己获得结果。
分一分与除法
教学目标：
• 能够通过等量划分（装袋、度量）、平均分两种行为，初步理解除法的含义。知道除法算式各部分的名称。
• 知道平均分的含义，了解平均分的方法。
• 会使用除法算式表示等量划分（装袋、度量）、平均分。
• 初步认识除法是乘法的逆运算。
教学须知：
除法的概念比较抽象，不易被理解。因此本单元根据除法的含义，设计了几个实践环节，希望学生能够通过实践活动，获得较多的感性认识。
除法学习的第一阶段为行为阶段，即等量划分（装袋、度量）、平均分。在行为阶段的除法实质是重复取走的行为，用算式与之对应，就是连续减去相同数。
本阶段必须切实地让学生进行动手操作。
用乘法口诀求商
教学目标：
• 初步认识除法是乘法的逆运算，知道商就是乘法算式中的一个因数。
• 了解用乘法口诀尝试求商的思路。
• 能够熟练使用 10 、 5 、 2 、 4 、 8 的乘法口诀求商。
教学须知：
从数学教学心理学讲，除是乘的逆行为。这在前几页的学习中孩子们已熟知了。孩子们接触乘法口诀时间不久，不容易一下子找到合适的乘法口诀，以确定其中的一个因数是我们要求的商，因而要鼓励孩子们用几句乘法口诀去尝试。尝试的思想方法正是一种重要的科学方法。
几倍
教学目标：
• 初步理解“几倍”的含义。
• 能用除法求一个数是另一个数的几倍。
• 通过常见的数量之间的关系，初步理解“几倍”在现实生活中的应用。
教学须知：
“一个量相当于几个另一个量”这种比例的比较方法，是比较两个量时经常使用的方法之一。就是所谓的“倍”的概念。 倍是乘除法的一个重要含义，“几倍”在除法中就是求商。求几倍也是除法的重要含义之一。本节的学习可先回顾乘法中的倍。
盒子是空的 —— 被除数为 0
教学目标：
• 知道 0 除以任何非零数商都是零。
• 通过观察糖盒中的糖数量的变化及每人能够分到糖果的数量，初步感知函数的概念。
• 培养学生探究能力。
• 培养学生从特殊到一般的推理能力。
教学须知：
通过“平均分糖”这一典型例子来探究“当盒子是空的时，每人能平均分到几粒糖”这一课题，孩子们通过探究得出结论并推广到一般：“ 0 除以任何非零数商都是零。”
如果 0 作除数，有两种情况：
① a ÷ 0 ，根据除法是乘法的逆运算， a ＝ 0 × ，因为任何数与 0 相乘结果为 0 ，不可能为 a ，所以除数不能为 0 。
② 0 ÷ 0 。同样 0 ＝ 0 × ，由此可以得到无数个结果，所以人们规定 0 不能作除数。
有的班级或学生提出为什么除数不能为零时，可以用实例解释。例如： 24 个苹果装袋，每袋装 0 个，就无法装袋。 24 粒糖分给 0 个小朋友也不能分。也可以直接告诉学生除数为零没有意义。
（最新版本请参考少年儿童出版社的《数学教学参考资料二年级第一学期（试用本）》）
